CR压缩弹簧模型生成：从基础原理到实战实现

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CR（Compression-Restoring）压缩弹簧模型是物理仿真中模拟弹性体变形的基础组件，广泛应用于游戏开发、动画制作和工程仿真等领域。它能够高效模拟弹簧在压缩和恢复过程中的动力学行为，为布料、软体等复杂物理效果提供基础支撑。

显式积分（如 Verlet 积分）
计算简单，每步仅需当前状态
时间复杂度 O(n)，适合实时应用
稳定性依赖小时间步长
隐式积分（如 Backward Euler）
需要求解线性方程组
时间复杂度 O(n^3) 但允许更大步长
适合高刚度系统仿真

根据胡克定律和阻尼项，弹簧力可表示为：

$$ F_{spring} = -k(|x_{ij}| – l_0)\frac{x_{ij}}{|x_{ij}|} – c(v_{ij} \cdot \hat{x}{ij})\hat{x} $$

其中：
– $k$ 为刚度系数
– $c$ 为阻尼系数
– $l_0$ 为弹簧原长
– $x_{ij}$ 为质点位移向量

import numpy as np

def spring_force(pos, vel, spring_pairs, k=1.0, c=0.1, l0=1.0):
    """
    计算所有弹簧的合力
    :param pos: 质点位置矩阵 (n,3)
    :param vel: 质点速度矩阵 (n,3)
    :param spring_pairs: 弹簧连接对列表 [m,2]
    :return: 合力矩阵 (n,3)
    """
    forces = np.zeros_like(pos)

    # 向量化计算所有弹簧向量
    i, j = spring_pairs[:,0], spring_pairs[:,1]
    x_ij = pos[j] - pos[i]  # 位移差向量
    v_ij = vel[j] - vel[i]  # 速度差向量

    # 计算单位方向向量
    distances = np.linalg.norm(x_ij, axis=1, keepdims=True)
    x_hat = x_ij / (distances + 1e-8)  # 防止除零

    # 胡克定律项 + 阻尼项
    hooke = -k * (distances - l0) * x_hat
    damping = -c * np.sum(v_ij * x_hat, axis=1, keepdims=True) * x_hat

    # 分配力到对应质点
    np.add.at(forces, i, hooke + damping)
    np.add.at(forces, j, -(hooke + damping))

    return forces

刚度系数 k
初始值建议范围 1 -100
过大导致系统僵硬，过小导致过度变形
可通过二分法测试临界值
阻尼系数 c
典型值 0.01-0.5
影响振动衰减速度
建议从 0.1 开始逐步调整

当弹簧连接呈规则网格时，使用 CSR 格式存储刚度矩阵：

from scipy.sparse import csr_matrix

rows = np.concatenate([spring_pairs[:,0], spring_pairs[:,1]])
cols = np.concatenate([spring_pairs[:,1], spring_pairs[:,0]])
data = np.ones_like(rows)
K = csr_matrix((data, (rows, cols)), shape=(n,n))