Boost变换器小信号模型状态空间平均法图：从理论推导到工程实现

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作为电力电子工程师，我们在设计 Boost 变换器时常常会遇到动态特性分析的问题。小信号建模是理解变换器动态响应的关键，但这个过程往往让人头疼。比如，当我们需要设计闭环控制系统时，传统的大信号模型无法直接用于频域分析，这就使得我们不得不面对小信号建模的挑战。

实际工程中，很多同行反映：

不知道如何从非线性模型得到线性化的小信号模型
对状态空间平均法的具体实现步骤感到困惑
仿真结果与理论推导存在偏差时难以排查原因

在 Boost 变换器建模中，常见的方法主要有三种：

状态空间平均法
优点：物理意义明确，适用于控制设计
缺点：忽略高频纹波，CCM/DCM 需分别处理
开关元件法
优点：精确反映开关过程
缺点：模型复杂，不便于控制设计
等效电路法
优点：直观易懂
缺点：难以反映动态特性

对于控制设计来说，状态空间平均法是最实用的选择。

Boost 变换器在 CCM 模式下有两个工作状态：开关导通和关断。我们需要分别建立这两个状态的状态方程，然后进行平均。

开关导通时（0 < t < dT）：

$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} \
C\frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

开关关断时（dT < t < T）：

$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} – v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

平均状态方程：

$$
\begin{cases}
L\frac{d\langle i_L \rangle}{dt} = V_{in} – (1-d)\langle v_C \rangle \
C\frac{d\langle v_C \rangle}{dt} = (1-d)\langle i_L \rangle – \frac{\langle v_C \rangle}{R}
\end{cases}
$$

在工作点附近进行扰动分析：

令 $d = D + \hat{d}$
$i_L = I_L + \hat{i}_L$
$v_C = V_C + \hat{v}_C$

线性化后得到小信号模型：

$$
\begin{cases}
L\frac{d\hat{i}L}{dt} = \hat{v}_C \
C\frac{d\hat{v}_C}{dt} = (1-D)\hat{i}_L – I_L\hat{d} – \frac{\hat{v}_C}{R}
\end{cases}
$$} + V_C\hat{d} – (1-D)\hat{v

% Boost 变换器小信号模型计算
function [A, B, C, D] = boost_ss_model(Vin, D, R, L, C)
    % 稳态计算
    Vo = Vin/(1-D);
    Io = Vo/R;
    IL = Io/(1-D);

    % 状态矩阵
    A = [0 -(1-D)/L; (1-D)/C -1/(R*C)];
    B = [Vo/L; -IL/C];
    C = [0 1];  % 输出为电容电压
    D = 0;
end