深入解析Ceres中的损失函数：从原理到工程实践

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在 SLAM、三维重建等任务中，最小二乘法的目标函数对异常值 (outliers) 极其敏感。举个例子：当特征点匹配错误时，传统最小二乘会因平方项放大误差，导致整个优化过程偏离正确解。

数学上表示为：
$$\min_x \sum_i \rho(|f_i(x)|^2)$$
其中 $\rho$ 就是损失函数，它决定了残差如何影响整体代价。

Ceres Solver 内置了多种损失函数实现，核心差异在于对大残差的处理方式：

TrivialLoss（平方损失）
公式：$\rho(s) = s$
特点：直接线性放大误差，对异常值零容忍
HuberLoss
公式：
$$\rho(s) = \begin{cases}
s & s \leq \delta^2 \
2\delta\sqrt{s} – \delta^2 & s > \delta^2
\end{cases}$$
$\delta$ 为阈值参数，超过后转为线性增长
CauchyLoss
公式：$\rho(s) = c^2\log(1+s/c^2)$
对极端异常值有更好的鲁棒性

Ceres 通过虚基类 LossFunction 定义统一接口，关键方法是：

virtual void Evaluate(double s, double out[3]) const = 0;

其中 out 数组返回：
– out[0]: $\rho(s)$
– out[1]: $\rho'(s)$
– out[2]: $\rho”(s)$

与自动求导的结合示例：

ceres::AutoDiffCostFunction<CostFunctor, 1, 3>(new CostFunctor), 
    new ceres::HuberLoss(1.0));

实现一个抑制极端异常值的损失函数：

class TukeyLoss : public ceres::LossFunction {
public:
    explicit TukeyLoss(double c) : c_squared_(c * c) {}

    void Evaluate(double s, double out[3]) const override {
        const double ratio = s / c_squared_;
        if (ratio <= 1.0) {
            const double tmp = 1 - ratio;
            out[0] = c_squared_ * (1 - tmp * tmp * tmp) / 3.0;
            out[1] = tmp * tmp;
            out[2] = -2 * tmp / c_squared_;
        } else {out[0] = c_squared_ / 3.0;
            out[1] = 0;
            out[2] = 0;
        }
    }

private:
    const double c_squared_;
};

根据实际场景选择损失函数：