CR压缩弹簧模型生成：从基础原理到实战实现

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CR（Constraint-based Rigidbody）压缩弹簧模型是物理引擎中模拟弹性体的基础组件，广泛应用于游戏角色布料模拟、机械臂柔体控制等场景。与刚体仿真相比，它能更真实地表现物体受压变形、振动衰减等特性。比如在汽车碰撞测试中，弹簧模型可以模拟保险杠的缓冲过程；在 VR 手套开发中，则用于计算手指接触虚拟物体时的力反馈。

显式欧拉法 ：
公式：$x_{t+1} = x_t + v_t \cdot \Delta t$
时间复杂度：$O(n)$，适合实时性要求高的场景
缺点：需要极小的时间步长（通常 $\Delta t < 1ms$）才能稳定
隐式欧拉法 ：
公式：$x_{t+1} = x_t + v_{t+1} \cdot \Delta t$
时间复杂度：$O(n^2)$，需解线性方程组
优点：允许较大时间步长（可达 10ms），适合离线仿真

根据胡克定律和阻尼项，质点 $i$ 受到的合力为：

$$F_i = -k(|x_{ij}| – L_0)\frac{x_{ij}}{|x_{ij}|} – c(v_i – v_j)$$

$k$：刚度系数（单位 N /m）
$c$：阻尼系数（单位 N·s/m）
$L_0$：弹簧原长
$x_{ij}$：质点 $i$ 到 $j$ 的位移向量

import numpy as np

class SpringSystem:
    def __init__(self, k=100.0, c=0.5):
        """
        初始化弹簧系统
        :param k: 刚度系数 (默认 100N/m)
        :param c: 阻尼系数 (默认 0.5N·s/m)
        """
        self.k = k
        self.c = c
        self.positions = np.zeros((n, 3))  # 三维坐标
        self.velocities = np.zeros_like(self.positions)

    def compute_forces(self):
        forces = np.zeros_like(self.positions)
        # 向量化计算所有质点间的相互作用力
        for i in range(len(self.positions)):
            for j in connected_particles[i]:  # 预定义的连接关系
                x_ij = self.positions[j] - self.positions[i]
                dist = np.linalg.norm(x_ij)
                dir_ij = x_ij / (dist + 1e-6)  # 防除零

                # 胡克定律 + 阻尼项
                force = self.k * (dist - rest_length) * dir_ij \
                      + self.c * np.dot(self.velocities[j] - self.velocities[i], dir_ij) * dir_ij
                forces[i] += force
        return forces

刚度系数 k ：
金属弹簧：$10^3 \sim 10^6$ N/m
橡胶材质：$10^1 \sim 10^3$ N/m
调试技巧：从较小值开始逐步增加，直到出现期望的振动频率
阻尼系数 c ：
临界阻尼公式：$c_{critical} = 2\sqrt{mk}$
过阻尼（$c > c_{critical}$）：运动缓慢无振荡
欠阻尼（$c < c_{critical}$）：会产生衰减振动

使用 scipy 的 CSR 格式存储刚度矩阵：

from scipy.sparse import csr_matrix

# 构建连接关系矩阵
rows, cols, data = [], [], []
for i, neighbors in enumerate(connected_particles):
    for j in neighbors:
        rows.append(i)
        cols.append(j)
        data.append(-self.k)  # 非零元素
stiffness_matrix = csr_matrix((data, (rows, cols)), shape=(n, n))