从零实现boost变换器连续时间状态空间模型：手工搭建版入门指南

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Boost 变换器作为最常见的 DC-DC 拓扑之一，在新能源发电、电动汽车和工业电源中广泛应用。传统建模方法（如平均模型或行为模型）往往无法准确反映高频开关细节，而状态空间模型能完整描述系统的动态特性。但现有教程常直接给出最终矩阵，跳过关键的推导过程，让初学者难以理解模型背后的物理意义。

选择电感电流 $i_L$ 和电容电压 $v_C$ 作为状态变量：
$$
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} i_L \ v_C \end{bmatrix}
$$

考虑开关管 Q 导通（模式 1）和关断（模式 2）两种状态：

模式 1 等效电路方程：
$$
L\frac{di_L}{dt} = V_{in}
$$
$$
C\frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R}
$$

模式 2 等效电路方程：
$$
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} – v_C
$$
$$
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
$$

通过占空比 $D$ 加权平均得到最终矩阵：

$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & -\frac{1-D}{L} \
\frac{1-D}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}, \quad
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{L} \
0
\end{bmatrix}
$$

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

# 电路参数
L = 100e-6    # 电感(H)
C = 220e-6    # 电容(F)
R = 10        # 负载电阻(Ω)
D = 0.6       # 占空比
Vin = 24      # 输入电压(V)

def boost_deriv(x, t):
    iL, vC = x
    # 状态矩阵构建
    A = np.array([[0, -(1-D)/L],
        [(1-D)/C, -1/(R*C)]])
    B = np.array([1/L, 0])
    return A.dot(x) + B*Vin

# 仿真时间设置
t = np.linspace(0, 0.02, 1000)
x0 = [0, 0]  # 初始状态

# 数值求解
sol = odeint(boost_deriv, x0, t)

# 结果可视化
plt.figure(figsize=(10,4))
plt.subplot(121)
plt.plot(t, sol[:,0], label='电感电流(A)')
plt.subplot(122)
plt.plot(t, sol[:,1], 'r', label='电容电压(V)')
plt.show()