Buck变换器状态空间平均模型建模入门：从理论推导到MATLAB实现

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在开关电源设计中，Buck 变换器是最基础的拓扑之一。传统时域仿真虽然直观，但存在两个致命缺陷：

仿真步长必须远小于开关周期（通常需 1 /100 以下），导致计算量爆炸
无法直接用于控制器设计，难以建立输入 / 输出的传递函数关系

状态空间平均法通过以下创新解决了这些问题：

将开关周期内非线性的电路行为转化为连续时间模型
保留关键状态变量（电感电流、电容电压）的动态特性
允许使用常规控制理论进行分析设计

对于标准 Buck 电路，选择两个核心状态变量：

$x_1$：电感电流 $i_L$ (A)
$x_2$：电容电压 $v_C$ (V)

设占空比为 $d$，在一个开关周期 $T_s$ 内：

开关导通阶段（持续时间 $dT_s$）:
$$
\dot{x} = A_1x + B_1V_{in}
$$
开关关断阶段（持续时间 $(1-d)T_s$）:
$$
\dot{x} = A_2x + B_2V_{in}
$$

通过加权平均得到状态空间方程：
$$
\dot{x} = [A_1d + A_2(1-d)]x + [B_1d + B_2(1-d)]V_{in}
$$

展开后的标准状态空间表示：

$$
\begin{aligned}
\begin{bmatrix}
\dot{i}L \
\dot{v}_C
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
-\frac{R_L}{L} & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_L \
v_C
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\frac{d}{L} \
0
\end{bmatrix}
V \
v_{out} &=
\begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_L \
v_C
\end{bmatrix}
\end{aligned}
$$

% Buck converter parameters
L = 100e-6;      % Inductance (H)
C = 470e-6;      % Capacitance (F)
R = 5;           % Load resistance (Ohm)
RL = 0.1;        % Inductor ESR (Ohm)
Vin = 24;        % Input voltage (V)
Vref = 12;       % Reference voltage (V)

% State-space matrices
A = [-RL/L -1/L; 1/C -1/(R*C)];
B = [1/L; 0];
C_mat = [0 1];   % Output is capacitor voltage
D = 0;

% PID controller design
Kp = 0.05;       % Proportional gain
Ki = 2;          % Integral gain
Kd = 1e-4;       % Derivative gain