Buck电路控制模型状态空间方程的推导与实现

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Buck 电路作为最基本的降压型 DC-DC 变换器，其拓扑结构包含开关管（MOSFET）、二极管、电感和输出电容。在连续导通模式（CCM）下，系统存在两个独立的状态变量：

电感电流 $i_L(t)$：反映储能元件能量交换的动态过程
电容电压 $v_C(t)$：表征输出滤波效果与负载特性

这两个变量构成了状态向量 $\mathbf{x} = [i_L \ v_C]^T$，其物理意义直接影响控制器设计效果。

导通阶段（$0 < t < DT_s$）：
$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} – v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$
关断阶段（$DT_s < t < T_s$）：
$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = -v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

通过状态空间平均法，得到统一描述方程：
$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}u \
\mathbf{y} &= \mathbf{C}\mathbf{x}
\end{aligned}
$$
其中：
$$
\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
0 & -1/L \
1/C & -1/(RC)
\end{bmatrix}, \
\mathbf{B} = \begin{bmatrix}
D/L \
0
\end{bmatrix}, \
\mathbf{C} = \begin{bmatrix}
0 & 1
\end{bmatrix}
$$

状态空间法优势 ：
天然支持多输入多输出系统
便于处理非线性与时变系统
直接物理量控制（电流 / 电压）
适合数字控制器实现
传递函数法局限 ：
仅适用于单输入单输出
依赖线性化假设
难以处理变量耦合

% 系统参数
L = 100e-6; C = 470e-6; R = 5; D = 0.4; Vin = 24;

% 状态矩阵构建
A = [0 -1/L; 1/C -1/(R*C)];
B = [D/L; 0];
C = [0 1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

% 极点配置设计
desired_poles = [-1e4+1e4j, -1e4-1e4j];
K = place(A, B, desired_poles);

% 闭环仿真
closed_loop = ss(A-B*K, B, C, D);
step(closed_loop); grid on;