Buck电路控制模型状态空间方程：从理论推导到MATLAB实现

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Buck 电路作为最基础的 DC-DC 降压变换器，其典型拓扑如下图所示。当开关管导通时，输入电压通过电感和电容向负载供电；当开关管关断时，电感通过续流二极管维持电流流动。

对于 Buck 电路的建模，我们通常选取电感电流 $i_L$ 和电容电压 $v_C$ 作为状态变量。这是因为：

电感电流反映了系统的储能状况
电容电压直接决定了输出电压
这两个变量可以完整描述系统的动态特性

当开关管导通时，Buck 电路可以简化为以下方程：

$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} – v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

当开关管关断时，电路方程为：

$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = -v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

通过平均化处理，我们可以得到 Buck 电路的状态空间平均模型：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{i_L} \
\dot{v_C}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_L \
v_C
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\frac{D}{L} \
0
\end{bmatrix}
V_{in}
$$

其中 D 为占空比。

% Buck 电路参数
L = 100e-6;     % 电感(H)
C = 100e-6;     % 电容(F)
R = 5;          % 负载电阻(Ω)
Vin = 20;       % 输入电压(V)
D = 0.5;        % 占空比

% 状态空间矩阵
A = [0 -1/L; 1/C -1/(R*C)];
B = [D/L; 0];
C_mat = [0 1];  % 输出为电容电压
D_mat = 0;

% 建立状态空间模型
sys = ss(A, B, C_mat, D_mat);

% 仿真时间
T = 0.001;      % 仿真时间(s)
[y,t,x] = step(sys, T);

% 绘制响应曲线
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x(:,1));
title('电感电流瞬态响应');
xlabel('时间(s)'); ylabel('电流(A)');

subplot(2,1,2);
plot(t, x(:,2));
title('电容电压瞬态响应');
xlabel('时间(s)'); ylabel('电压(V)');

% 绘制开环伯德图
figure;
bode(sys);
grid on;
title('Buck 电路开环频率响应');

% 设计 PI 控制器
Kp = 0.1;
Ki = 100;
contr = tf([Kp Ki], [1 0]);

% 闭环系统
sys_cl = feedback(series(contr, sys), 1);

% 绘制闭环伯德图
figure;
bode(sys_cl);
grid on;
title('Buck 电路闭环频率响应');

通过仿真我们可以观察到：