Buck电路控制模型状态空间方程：从理论推导到MATLAB实现

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Buck 电路作为最基本的 DC-DC 降压变换器，其拓扑结构包含开关管（S）、二极管（D）、电感（L）、电容（C）和负载电阻（R）。建立状态空间模型时，需选择储能元件的能量状态作为状态变量：

电感电流 (i_L(t))：反映磁场储能
电容电压 (v_C(t))：反映电场储能

根据基尔霍夫定律，当开关管导通（状态 1）和关断（状态 2）时，电路分别满足：

[
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = v_{in} – v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
\quad \text{(状态 1)}
]

[
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = -v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
\quad \text{(状态 2)}
]

采用状态空间平均法，定义占空比 (D) 为开关导通时间比例，合并两个状态可得：

[
\begin{aligned}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} i_L \ v_C \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i_L \ v_C \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} \frac{D}{L} \ 0 \end{bmatrix} v_{in} \
y &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} i_L \ v_C \end{bmatrix}
\end{aligned}
]

% 参数设置
L = 100e-6; C = 470e-6; R = 10; D = 0.6; Vin = 24;

% 状态空间矩阵
A = [0 -1/L; 1/C -1/(R*C)];
B = [D/L; 0];
C_mat = [0 1]; D_mat = 0;
sys = ss(A, B, C_mat, D_mat);

% 伯德图分析
figure; bode(sys); grid on;

% 阶跃响应
figure; step(sys); grid on;

通过 PID 控制器设计闭环系统（以输出电压为反馈）：

% PID 控制器设计
Kp = 0.5; Ki = 100; Kd = 0.001;
controller = pid(Kp, Ki, Kd);
closed_loop = feedback(controller * sys, 1);

% 对比阶跃响应
figure; 
step(sys, 'r--', closed_loop, 'b-'); 
legend('Open-loop', 'Closed-loop');
grid on;