Buck-Boost电路状态空间平均模型：从理论推导到工程实践

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状态空间平均法是开关电源建模中最经典的方法之一，特别适用于像 Buck-Boost 这类既有电压升压又有降压功能的变换器。与传统的开关周期分析方法相比，它主要有三大优势：

将非线性开关系统转化为线性时不变系统
保留了变换器的低频动态特性
可直接用于控制器设计和稳定性分析

在工程实践中，准确的数学模型是设计高性能数字电源的基础。接下来我们就从最基本的电路方程出发，一步步推导出 Buck-Boost 的状态空间模型。

Buck-Boost 电路有两种工作状态：

开关导通阶段（0 < t < dT）

此时开关管导通，二极管截止，电路方程为：

\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} \\
C\frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R}
\end{cases}

开关关断阶段（dT < t < T）

开关管关断，二极管导通，电路方程为：

\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = -v_C \\
C\frac{dv_C}{dt} = i_L - \frac{v_C}{R}
\end{cases}

对上述两种状态进行加权平均（d 为占空比）：

\begin{cases}
L\frac{d\langle i_L \rangle}{dt} = dV_{in} - (1-d)\langle v_C \rangle \\
C\frac{d\langle v_C \rangle}{dt} = (1-d)\langle i_L \rangle - \frac{\langle v_C \rangle}{R}
\end{cases}

在稳态工作点附近进行扰动分析：

\begin{cases}
\hat{x} = X + \tilde{x} \\
\hat{d} = D + \tilde{d}
\end{cases}

忽略二阶小量后得到小信号模型：

\begin{cases}
L\frac{d\tilde{i}_L}{dt} = V_{in}\tilde{d} + D\tilde{v}_{in} - (1-D)\tilde{v}_C + V_C\tilde{d} \\
C\frac{d\tilde{v}_C}{dt} = (1-D)\tilde{i}_L - I_L\tilde{d} - \frac{\tilde{v}_C}{R}
\end{cases}

% Buck-Boost 状态空间模型参数
L = 100e-6;     % 电感 (H)
C = 470e-6;     % 电容 (F)
R = 10;         % 负载电阻 (Ω)
Vin = 24;       % 输入电压 (V)
D = 0.6;        % 占空比

% 状态矩阵计算
A = [0, -(1-D)/L; (1-D)/C, -1/(R*C)];
B = [D/L, Vin/L; -1/C, 0];
C_mat = [0 1];  % 输出为电容电压
D_mat = [0 0];

% 建立状态空间模型
sys = ss(A, B, C_mat, D_mat);

% 频域分析
bode(sys);
grid on;

验证模型准确性的关键步骤：