线性定常连续系统离散化实战：从状态空间模型到能控性分析

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在数字控制器设计中，我们常常需要将连续系统转换为离散系统，以便在计算机或微处理器上实现控制算法。然而，这个过程并非一帆风顺，其中最大的挑战之一就是采样周期的选择。采样周期过长可能导致系统能控性丢失，进而影响控制性能；采样周期过短则会增加计算负担，甚至引发数值稳定性问题。

连续系统离散化的必要性：
数字控制器只能在离散时间点进行采样和控制
计算机无法直接处理连续时间信号
现代控制系统大多采用数字实现
采样周期选择的困境：
过大的采样周期会导致高频信号丢失（香农采样定理）
过小的采样周期增加计算成本
不当采样可能导致系统能控性完全丧失

在离散化方法的选择上，工程师们通常会考虑以下几种主流技术：

零阶保持法(ZOH)
最简单的离散化方法
假设输入信号在采样周期内保持恒定
计算简单但精度有限
适用于大多数工业控制系统
一阶保持法(FOH)
比 ZOH 更高阶的近似
假设输入信号在采样周期内线性变化
计算复杂度增加
对快速变化信号表现更好
双线性变换(Tustin)
也称为梯形法或双线性近似
保持系统稳定性
频率响应有畸变（频率扭曲）
常用于滤波器设计

连续系统的状态空间方程一般表示为：

$$
\dot{x}(t) = A x(t) + B u(t)
$$

经过离散化后，我们得到：

$$
x[k+1] = \Phi x[k] + \Gamma u[k]
$$

其中：

$$
\Phi = e^{A T_s}, \quad \Gamma = \int_0^{T_s} e^{A \tau} B d\tau
$$

$T_s$ 是采样周期。对于 ZOH 方法，当 $A$ 可逆时，$\Gamma$ 可以表示为：

$$
\Gamma = A^{-1}(\Phi – I)B
$$

离散系统的能控性矩阵为：

$$
\mathcal{C} = [\Gamma \quad \Phi \Gamma \quad \cdots \quad \Phi^{n-1} \Gamma]
$$

系统完全能控的条件是 $\text{rank}(\mathcal{C}) = n$，其中 $n$ 是系统阶数。

% 连续系统矩阵
A = [0 1; -1 -0.5];
B = [0; 1];
C = [1 0];
D = 0;

% 采样周期
Ts = 0.1;

% 离散化(零阶保持)
sys = ss(A, B, C, D);
sysd = c2d(sys, Ts, 'zoh');
[Phi, Gamma] = ssdata(sysd);

% 计算能控性矩阵
n = size(A, 1);
Ctrb = Gamma;
for i = 1:n-1
    Ctrb = [Ctrb Phi^i*Gamma];
end

% 检查能控性
rank_Ctrb = rank(Ctrb);
if rank_Ctrb == n
    disp('系统完全能控');
else
    disp('系统不完全能控');
end

import numpy as np
from scipy.linalg import expm, inv

# 连续系统矩阵
A = np.array([[0, 1], [-1, -0.5]])
B = np.array([[0], [1]])

# 采样周期
Ts = 0.1

# 离散化(零阶保持)
Phi = expm(A * Ts)
if np.linalg.matrix_rank(A) == A.shape[0]:
    Gamma = inv(A) @ (Phi - np.eye(2)) @ B
else:
    # 处理奇异矩阵情况
    t = np.linspace(0, Ts, 100)
    integrand = lambda tau: expm(A * tau) @ B
    Gamma = np.trapz([integrand(tau) for tau in t], x=t, axis=0)

# 计算能控性矩阵
n = A.shape[0]
Ctrb = Gamma
for i in range(1, n):
    Ctrb = np.hstack((Ctrb, np.linalg.matrix_power(Phi, i) @ Gamma))

# 检查能控性
rank_Ctrb = np.linalg.matrix_rank(Ctrb)
print(f'能控性矩阵秩: {rank_Ctrb}')
if rank_Ctrb == n:
    print('系统完全能控')
else:
    print('系统不完全能控')