Transformer与自注意力机制入门指南：从数学原理到PyTorch实现

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传统 RNN 在处理长序列时存在明显的局限性。随着序列长度的增加，RNN 面临着梯度消失或梯度爆炸的问题，这使得模型难以学习到长距离的依赖关系。此外，RNN 的串行计算特性也限制了其并行化能力，导致训练速度较慢。

在自然语言处理（NLP）任务中，上下文依赖关系至关重要。例如，在机器翻译中，一个词的翻译可能需要参考句子中其他位置的词。传统 RNN 难以有效捕捉这种长距离依赖关系，而 Transformer 通过自注意力机制解决了这一问题。

自注意力机制的核心是 Query、Key 和 Value 矩阵的运算。给定输入序列 $X \in \mathbb{R}^{n \times d}$，其中 $n$ 是序列长度，$d$ 是特征维度，我们通过线性变换得到 Query、Key 和 Value 矩阵：

$$
Q = XW^Q, \quad K = XW^K, \quad V = XW^V
$$

其中 $W^Q, W^K, W^V \in \mathbb{R}^{d \times d_k}$ 是可学习的权重矩阵。注意力权重的计算如下：

$$
\text{Attention}(Q, K, V) = \text{softmax}\left(\frac{QK^T}{\sqrt{d_k}}\right)V
$$

这里的缩放因子 $\sqrt{d_k}$ 用于防止点积结果过大，导致 softmax 函数的梯度消失。

假设我们有一个长度为 3 的序列，注意力权重的计算过程可以用以下 ASCII 图表表示：

Q: [q1, q2, q3]    K: [k1, k2, k3]

注意力得分矩阵:
[q1·k1, q1·k2, q1·k3]
[q2·k1, q2·k2, q2·k3]
[q3·k1, q3·k2, q3·k3]

经过 softmax 后:
[α11, α12, α13]
[α21, α22, α23]
[α31, α32, α33]

最终输出:
[α11·v1 + α12·v2 + α13·v3]
[α21·v1 + α22·v2 + α23·v3]
[α31·v1 + α32·v2 + α33·v3]

单头注意力只能捕捉一种模式的依赖关系，而多头注意力通过并行计算多个注意力头，可以捕捉不同子空间的依赖关系。具体来说，多头注意力的输出是多个注意力头的拼接：

$$
\text{MultiHead}(Q, K, V) = \text{Concat}(\text{head}_1, \ldots, \text{head}_h)W^O
$$

其中每个头的计算方式与单头注意力相同，但使用不同的权重矩阵。

以下是使用 PyTorch 实现的多头注意力层，包含 mask 支持和位置编码：

import torch
import torch.nn as nn
import torch.nn.functional as F

class MultiHeadAttention(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, num_heads):
        super().__init__()
        assert d_model % num_heads == 0, "d_model must be divisible by num_heads"
        self.d_model = d_model
        self.num_heads = num_heads
        self.d_k = d_model // num_heads

        # 线性变换层
        self.W_q = nn.Linear(d_model, d_model)
        self.W_k = nn.Linear(d_model, d_model)
        self.W_v = nn.Linear(d_model, d_model)
        self.W_o = nn.Linear(d_model, d_model)

    def forward(self, q, k, v, mask=None):
        batch_size = q.size(0)

        # 线性变换并分割为多头
        q = self.W_q(q).view(batch_size, -1, self.num_heads, self.d_k).transpose(1, 2)
        k = self.W_k(k).view(batch_size, -1, self.num_heads, self.d_k).transpose(1, 2)
        v = self.W_v(v).view(batch_size, -1, self.num_heads, self.d_k).transpose(1, 2)

        # 计算注意力得分
        scores = torch.matmul(q, k.transpose(-2, -1)) / torch.sqrt(torch.tensor(self.d_k, dtype=torch.float32))

        # 应用 mask（如果有）if mask is not None:
            scores = scores.masked_fill(mask == 0, -1e9)

        # 计算注意力权重
        attn_weights = F.softmax(scores, dim=-1)

        # 加权求和
        output = torch.matmul(attn_weights, v)

        # 拼接多头并线性变换
        output = output.transpose(1, 2).contiguous().view(batch_size, -1, self.d_model)
        return self.W_o(output)

位置编码用于向模型提供序列中词的位置信息。以下是支持可变长度输入的位置编码实现：

class PositionalEncoding(nn.Module):
    def __init__(self, d_model, max_len=5000):
        super().__init__()
        pe = torch.zeros(max_len, d_model)
        position = torch.arange(0, max_len, dtype=torch.float).unsqueeze(1)
        div_term = torch.exp(torch.arange(0, d_model, 2).float() * (-math.log(10000.0) / d_model))

        pe[:, 0::2] = torch.sin(position * div_term)
        pe[:, 1::2] = torch.cos(position * div_term)
        pe = pe.unsqueeze(0)
        self.register_buffer('pe', pe)

    def forward(self, x):
        # x 的形状: [batch_size, seq_len, d_model]
        return x + self.pe[:, :x.size(1)]