几何-光谱-电流响应张量模型：结合压缩感知与深度学习的重建方法实践

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传统信号重建方法（如滤波反投影、迭代重建等）在复杂环境下常面临两大挑战：

计算复杂度高：高维信号重建需要求解大规模逆问题，传统优化算法（如共轭梯度法）的迭代次数随维度增长呈指数上升
先验知识依赖性强：手工设计正则化项（如 TV 正则化）难以适应复杂信号结构，导致重建质量瓶颈

以遥感图像重建为例，传统方法在云雾干扰场景下 PSNR 普遍低于 25dB，且单幅图像重建耗时超过 10 分钟。

压缩感知 (CS) 优势：
理论保证：满足有限等距性质 (RIP) 时，$K$- 稀疏信号可通过 $M=O(K\log(N/K))$ 次测量精确重建
硬件友好：降低采样率（如 MRI 加速因子 4 - 8 倍）
深度学习 (DL) 优势：
特征自适应性：通过卷积核自动学习 $\ell_1$-norm 无法表达的复杂先验
并行计算：GPU 加速使迭代算法耗时从 $O(n^3)$ 降至 $O(n^2)$

我们的混合模型通过张量分解将 CS 测量约束融入网络架构，实现了理论保证与数据驱动的结合。

定义三阶张量 $\mathcal{X} \in \mathbb{R}^{I_1\times I_2\times I_3}$，其 CP 分解为：
$$\mathcal{X} \approx \sum_{r=1}^R \mathbf{g}_r \circ \mathbf{s}_r \circ \mathbf{c}_r$$
其中：
– $\mathbf{g}_r$：几何模态因子（空间特征）
– $\mathbf{s}_r$：光谱模态因子（频域稀疏性）
– $\mathbf{c}_r$：电流响应因子（物理约束）

class GSTensorNet(nn.Module):
    def __init__(self, rank=32):
        super().__init__()
        # 几何特征提取
        self.geo_encoder = nn.Sequential(nn.Conv2d(1, 64, 3, padding=1),
            nn.ReLU(),
            ResBlock(64)  # 自定义残差块
        )
        # 压缩感知层
        self.cs_layer = CSSampling(ratio=0.25)  # 实现测量矩阵 Φ
        # 张量重建头
        self.tensor_head = TensorRegressHead(rank)

    def forward(self, x):
        g = self.geo_encoder(x)  # [B,64,H,W]
        y = self.cs_layer(g)     # [B,M]
        x_hat = self.tensor_head(y)  # 张量重建
        return x_hat

def prepare_data(patches):
    # 归一化到 [-1,1] 并添加泊松噪声
    patches = 2*(patches - patches.min())/(patches.max()-patches.min()) -1
    noisy = torch.poisson(0.5*(patches+1)*100)/100  # 模拟真实传感器噪声
    return noisy

class HybridLoss(nn.Module):
    def __init__(self, alpha=0.1):
        super().__init__()
        self.alpha = alpha  # 压缩感知约束权重

    def forward(self, pred, target, phi):
        # 数据保真项
        mse = F.mse_loss(pred, target)
        # CS 约束项
        residual = torch.matmul(phi, pred.flatten(1)) \
                 - torch.matmul(phi, target.flatten(1))
        cs_term = torch.norm(residual, p=1)
        return mse + self.alpha * cs_term

在 Urban100 数据集上的测试结果：