单应矩阵估计实战：从RANSAC算法原理到OpenCV实现

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最近在做一个 AR 名片识别项目时遇到个有趣现象：当我把手机摄像头倾斜着对准名片时，App 仍能稳定地在名片上叠加虚拟信息。这背后的魔法就是单应矩阵——它描述了同一平面在不同视角下的投影关系。用数学语言说，若 $\mathbf{x}’ = H\mathbf{x}$，其中 $H$ 就是我们要估计的 3×3 单应矩阵。

传统 DLT(直接线性变换)求解时，所有匹配点都被平等对待。但实际场景中：

特征匹配常包含 30% 以上的误匹配(下图红叉)
某些区域匹配点过于密集会导致数值不稳定

RANSAC 通过随机采样和投票机制，完美解决了这两个痛点。其核心思想可概括为：

随机选取最小样本集(4 对点)
计算临时单应矩阵
统计内点数量(误差小于阈值)
重复直到找到最优解

\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & -x'_1y_1 & -x'_1y_1 & -x'_1 \\
x_1 & y_1 & 1 & 0 & 0 & 0 & -x_1x'_1 & -y_1x'_1 \\
...
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
h_{11} \\ h_{12} \\ ... \\ h_{33}
\end{bmatrix}
= 0

通过 SVD 分解 A =UDVᵀ，解就是 V 的最后一列。

假设内点比例是 w，需要 k 个点计算模型，要求成功概率 p，则迭代次数 N 应满足：

N = \frac{\log(1-p)}{\log(1-w^k)}

当 w =0.5 时，想要 99% 成功率需要约 16 次迭代；若 w 降到 0.3，则需要约 145 次。

H, mask = cv2.findHomography(src_pts, dst_pts, 
                           method=cv2.RANSAC,
                           ransacReprojThreshold=3.0,
                           maxIters=2000)

关键参数说明：

ransacReprojThreshold：像素重投影误差阈值
confidence：默认 0.995，对应 99.5% 置信度

@numba.jit(nopython=True)
def ransac_homography(pairs, threshold, max_iters):
    best_inliers = []
    for _ in range(max_iters):
        sample = random.sample(pairs, 4)
        H = compute_homography(sample)
        inliers = []
        for pt1, pt2 in pairs:
            if reprojection_error(H, pt1, pt2) < threshold:
                inliers.append((pt1, pt2))
        if len(inliers) > len(best_inliers):
            best_inliers = inliers
    return compute_homography(best_inliers)

当相机仅旋转时，所有点都满足单应关系，导致无法筛选内点。解决方法：