Buck电路状态空间平均模型：从理论推导到仿真验证

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在电力电子电路设计中，Buck 电路是最基础的降压型 DC-DC 转换器。传统的开关模型通过精确模拟 MOSFET 的开关过程来分析电路行为，这种方法虽然直观，但存在两个主要问题：

仿真效率极低：由于开关频率通常在几十 kHz 到几 MHz，仿真时需要极小的步长才能捕捉开关瞬态，导致仿真时间过长
无法直接用于控制器设计：开关模型是非线性的，而控制理论通常基于线性系统，直接设计控制器非常困难

状态空间平均法（State Space Averaging）是一种将开关电源的周期性行为 ” 平均化 ” 的建模方法，它通过以下方式解决了传统模型的问题：

将开关周期内的两种状态（开关导通和关断）分别建模
根据占空比将两种状态加权平均
通过小信号扰动法线性化处理

与开关周期平均法相比，状态空间平均法不仅能得到直流特性，还能分析动态响应，特别适合控制器设计。

在开始推导前，我们需要明确几个关键假设：

电路工作在连续导通模式（CCM）
开关器件是理想的（无导通压降、无开关损耗）
输出电压纹波远小于直流分量

当开关导通时，Buck 电路的等效电路如图 1 所示（此处应有电路图）。根据基尔霍夫电压定律和电流定律：

$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} – v_o \
C\frac{dv_o}{dt} = i_L – \frac{v_o}{R}
\end{cases}
$$

可以写成矩阵形式：

$$
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} i_L \ v_o \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i_L \ v_o \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} \frac{V_{in}}{L} \ 0 \end{bmatrix}
$$

当开关关断时，二极管导通，等效电路变化。状态方程为：

$$
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} i_L \ v_o \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i_L \ v_o \end{bmatrix}
$$

将两个状态按照占空比 d 加权平均，得到平均状态方程：

$$
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} i_L \ v_o \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i_L \ v_o \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} \frac{dV_{in}}{L} \ 0 \end{bmatrix}
$$

为了分析电路的动态响应，我们需要在静态工作点附近引入小信号扰动：

$$
\begin{cases}
d = D + \hat{d} \
i_L = I_L + \hat{i}_L \
v_o = V_o + \hat{v}_o
\end{cases}
$$

其中大写字母表示直流分量，带帽符号表示交流小信号。将这些表达式代入平均状态方程并忽略二阶小量，可以得到小信号模型：

$$
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \hat{i}L \ \hat{v}_o \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1}{L} \
\frac{1}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \hat{i}_L \\hat{v}_o \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} \frac{V
$$}}{L} \ 0 \end{bmatrix}\hat{d

对上述小信号模型进行拉普拉斯变换，可以解出输出电压对占空比的传递函数：

$$
G_{vd}(s) = \frac{\hat{v}o(s)}{\hat{d}(s)} = \frac{V
$$}}{LCs^2 + \frac{L}{R}s + 1

同样，电感电流对占空比的传递函数为：

$$
G_{id}(s) = \frac{\hat{i}L(s)}{\hat{d}(s)} = \frac{V
$$}(1 + RCs)}{L(RCs^2 + \frac{L}{R}s + 1)

下面通过 Matlab 代码验证我们的推导结果。首先建立状态空间平均模型，并与实际开关电路仿真结果对比。

% Buck 电路参数
Vin = 12;       % 输入电压 [V]
L = 100e-6;     % 电感 [H]
C = 100e-6;     % 电容 [F]
R = 5;          % 负载电阻 [Ω]
D = 0.5;        % 占空比
fs = 100e3;     % 开关频率 [Hz]

% 状态空间平均模型
A = [0 -1/L; 1/C -1/(R*C)];
B = [Vin/L; 0];
C_mat = [0 1];  % 输出为输出电压
D_mat = 0;
sys_avg = ss(A, B, C_mat, D_mat);

% 实际开关模型仿真（使用 Simulink，这里简化表示）% 需要搭建包含 MOSFET 和二极管的详细电路
% 这里省略具体实现

% 频域分析
figure;
bode(sys_avg);
grid on;
title('Buck 电路频域响应（状态空间平均模型）');

% 时域阶跃响应
figure;
step(sys_avg);
grid on;
title('Buck 电路阶跃响应（状态空间平均模型）');

在进行小信号分析时，扰动幅度应满足：