Buck-Boost电路状态空间平均模型：从理论推导到工程实现

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Buck-Boost 变换器作为能够升降压的 DC-DC 拓扑，在新能源发电、电动汽车等场景广泛应用。但其开关非线性特性使得传统时域分析效率低下——每次开关动作都需要重新计算电路状态，仿真速度慢且难以提取系统动态特性。

状态空间平均法通过将开关周期内的行为 ” 平滑化 ”，成功将非线性系统转化为可线性分析的连续模型。这个模型不仅能预测系统稳定性，还为控制器设计提供了数学基础。

首先定义两个开关状态（S 导通 / S 关断），用 KCL/KVL 列写状态方程。设电感电流 $i_L$ 和电容电压 $v_C$ 为状态变量，输入电压为 $V_{in}$：

S 导通阶段（占空比 d）
$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} \
C\frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

S 关断阶段（1-d）
$$
\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = -v_C \
C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}
\end{cases}
$$

对开关周期 T 内的行为取平均，得到混合方程：
$$
\begin{cases}
L\frac{d\langle i_L \rangle}{dt} = dV_{in} – (1-d)\langle v_C \rangle \
C\frac{d\langle v_C \rangle}{dt} = (1-d)\langle i_L \rangle – \frac{\langle v_C \rangle}{R}
\end{cases}
$$

将变量拆分为直流分量（大写）和交流分量（小写带 ^）：
– $d = D + \hat{d}$
– $\langle i_L \rangle = I_L + \hat{i}_L$
– $\langle v_C \rangle = V_C + \hat{v}_C$

忽略二阶小量后，得到扰动方程：
$$
\begin{cases}
L\frac{d\hat{i}L}{dt} = D\hat{v} \
C\frac{d\hat{v}_C}{dt} = (1-D)\hat{i}_L – I_L\hat{d} – \frac{\hat{v}_C}{R}
\end{cases}
$$} + V_{in}\hat{d} – (1-D)\hat{v}_C + V_C\hat{d

整理成状态空间标准形式 $\dot{x}=Ax+Bu$：
$$
\begin{bmatrix}
\frac{d\hat{i}L}{dt} \
\frac{d\hat{v}_C}{dt}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1-D}{L} \
\frac{1-D}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{i}_L \
\hat{v}_C
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
\frac{D}{L} & \frac{V \
0 & -\frac{I_L}{C}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{v}_{in} \
\hat{d}
\end{bmatrix}
$$}+V_C}{L

% 系统参数设置
Vin = 24;       % 输入电压 (V)
D = 0.6;        % 占空比
L = 100e-6;     % 电感 (H)
C = 470e-6;     % 电容 (F)
R = 10;         % 负载电阻 (Ω)

% 计算稳态工作点
Vc = -Vin*D/(1-D);  % 输出电容电压
Il = Vc/(R*(1-D));  % 电感电流

% 构建状态空间矩阵
A = [0, -(1-D)/L;
     (1-D)/C, -1/(R*C)];
B = [D/L, (Vin+Vc)/L;
     0,   -Il/C];
C_mat = eye(2);     % 输出全部状态变量
D_mat = zeros(2,2);

% 创建系统对象
sys = ss(A,B,C_mat,D_mat);

% 绘制伯德图
figure
bode(sys)
grid on
title('Buck-Boost 小信号模型频响特性')

开关频率越高，平均化假设越准确
建议开关频率 >10 倍系统带宽时使用
高频时需考虑 MOSFET 开关损耗

主要敏感参数包括：

电感等效串联电阻 (ESR)
电容等效串联电阻 (ESR)
二极管正向压降

可通过修正状态方程加入这些项：
$$
A_{new} =
\begin{bmatrix}
-\frac{R_{L}}{L} & -\frac{1-D}{L} \
\frac{1-D}{C} & -\frac{1}{R_{total}C}
\end{bmatrix}
$$

改变电感值观察带宽变化：

L_range = [50e-6, 100e-6, 200e-6];
figure
hold on
for L_val = L_range
    A(1,2) = -(1-D)/L_val;
    sys = ss(A,B,C_mat,D_mat);
    bode(sys)
end
legend('50uH','100uH','200uH')