Buck-Boost变换器状态空间平均模型：从数学推导到小信号模型实现

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Buck-Boost 变换器是一种常用的 DC-DC 变换器，能够实现输出电压高于或低于输入电压。其基本电路拓扑包括开关管（通常为 MOSFET）、二极管、电感和电容。通过控制开关管的导通和关断时间（即占空比 D），可以调节输出电压的大小和极性。

状态空间平均法是一种将开关电路的非线性行为线性化的方法。其核心思想是将开关周期内的两个工作状态（开关导通和关断）的状态方程进行加权平均，得到一个连续的、线性的模型。这种方法简化了分析过程，同时保持了足够的精度。

开关导通时，等效电路可以简化为电感 L 与输入电压 Vin 串联，电容 C 与负载 R 并联。
根据基尔霍夫电压定律（KVL），电感电压为：
$$v_L = L\frac{di_L}{dt} = V_{in}$$
根据基尔霍夫电流定律（KCL），电容电流为：
$$i_C = C\frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R}$$

开关关断时，二极管导通，等效电路为电感 L 与电容 C 及负载 R 串联。
电感电压为：
$$v_L = L\frac{di_L}{dt} = -v_C$$
电容电流为：
$$i_C = C\frac{dv_C}{dt} = i_L – \frac{v_C}{R}$$

将两个阶段的状态方程进行加权平均，权重为占空比 D 和 (1-D)：
$$L\frac{di_L}{dt} = DV_{in} – (1-D)v_C$$
$$C\frac{dv_C}{dt} = (1-D)i_L – \frac{v_C}{R}$$
写成矩阵形式：
$$\begin{bmatrix}
\frac{di_L}{dt} \
\frac{dv_C}{dt}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1-D}{L} \
\frac{1-D}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
i_L \
v_C
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
\frac{D}{L} \
0
\end{bmatrix}V_{in}$$

假设变量可以表示为稳态值和小信号扰动的和：
$$i_L = I_L + \hat{i}_L$$
$$v_C = V_C + \hat{v}_C$$
$$D = D + \hat{d}$$
将上述表达式代入状态空间平均方程，忽略高阶小信号项，得到小信号模型：
$$\begin{bmatrix}
\frac{d\hat{i}L}{dt} \
\frac{d\hat{v}_C}{dt}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & -\frac{1-D}{L} \
\frac{1-D}{C} & -\frac{1}{RC}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{i}_L \
\hat{v}_C
\end{bmatrix} +
\begin{bmatrix}
\frac{V_C + V \
-\frac{I_L}{C}
\end{bmatrix}\hat{d}$$}}{L

% Buck-Boost 变换器参数
Vin = 12;       % 输入电压 (V)
L = 100e-6;     % 电感 (H)
C = 100e-6;     % 电容 (F)
R = 10;         % 负载电阻 (Ohm)
D = 0.6;        % 占空比

% 状态空间矩阵
A = [0, -(1-D)/L; (1-D)/C, -1/(R*C)];
B = [D/L; 0];
C_mat = [0 1];  % 输出为电容电压
D_mat = 0;

% 建立状态空间模型
sys = ss(A, B, C_mat, D_mat);

% 阶跃响应分析
t = 0:1e-6:0.01;
step(sys, t);
grid on;
xlabel('Time (s)');
ylabel('Output Voltage (V)');
title('Buck-Boost Step Response');