Buck-Boost变换器状态空间平均模型：从数学推导到小信号模型实现

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Buck-Boost 变换器是一种常用的 DC-DC 变换器，能够实现输出电压高于或低于输入电压的功能。其基本电路拓扑如下图所示（此处应插入电路图，图中包含电感 L、电容 C、开关管 S 和二极管 D 等关键元件）。

工作原理 ：通过控制开关管 S 的占空比 D，调节输出电压的大小。当 S 导通时，电感 L 储能；当 S 关断时，电感通过二极管 D 向负载释放能量。
特点：输出电压极性反转（相对于输入电压），且输出电压范围宽泛，适用于电池供电系统等场景。

状态空间平均法是电力电子系统建模的常用方法，其核心思想是将开关周期内的非线性行为通过平均化处理，转化为线性时不变（LTI）系统。

基本步骤 ：
分别建立开关导通和关断时的状态方程
对两个状态方程进行加权平均（权重为占空比 D 和 1 -D）
引入扰动项进行线性化，得到小信号模型

此时二极管 D 反偏截止，电路等效为 L 与输入电压源 Vin 串联。

状态方程：

\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = V_{in} \\
C\frac{dv_C}{dt} = -\frac{v_C}{R}
\end{cases}

此时电感电流通过二极管 D 续流，向负载和电容供电。

状态方程：

\begin{cases}
L\frac{di_L}{dt} = -v_C \\
C\frac{dv_C}{dt} = i_L - \frac{v_C}{R}
\end{cases}

对两个阶段的状态方程进行加权平均（权重为 D 和 1 -D）：

\begin{cases}
L\frac{d\langle i_L \rangle}{dt} = DV_{in} - (1-D)\langle v_C \rangle \\
C\frac{d\langle v_C \rangle}{dt} = (1-D)\langle i_L \rangle - \frac{\langle v_C \rangle}{R}
\end{cases}

在平均模型基础上，引入扰动项：

\begin{cases}
D = D_0 + \hat{d} \\
\langle i_L \rangle = I_L + \hat{i}_L \\
\langle v_C \rangle = V_C + \hat{v}_C
\end{cases}

线性化处理后得到小信号模型：

\begin{cases}
L\frac{d\hat{i}_L}{dt} = V_{in}\hat{d} + D_0\hat{v}_{in} - (1-D_0)\hat{v}_C + V_C\hat{d} \\
C\frac{d\hat{v}_C}{dt} = (1-D_0)\hat{i}_L - I_L\hat{d} - \frac{\hat{v}_C}{R}
\end{cases}

% Buck-Boost 状态空间平均模型仿真
% 参数设置
Vin = 12;       % 输入电压 (V)
D = 0.6;        % 占空比
R = 10;         % 负载电阻 (Ohm)
L = 100e-6;     % 电感 (H)
C = 470e-6;     % 电容 (F)

% 状态空间矩阵
A = [0, -(1-D)/L; (1-D)/C, -1/(R*C)];
B = [D/L; 0];
C_mat = [0 1];  % 输出为电容电压
D_mat = 0;

% 建立状态空间模型
sys = ss(A, B, C_mat, D_mat);

% 阶跃响应仿真
t = 0:1e-6:0.01;
step(sys, t);
grid on;
title('Buck-Boost 变换器小信号模型阶跃响应');
ylabel('输出电压 (V)');