Buck变换器状态空间平均模型建模入门：从理论推导到MATLAB实现

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在开关电源设计中，Buck 变换器是最基础的拓扑之一。传统的时域仿真方法（如 SPICE）虽然直观，但存在两个致命缺陷：

仿真速度极慢：由于需要捕捉 ns 级的开关细节，仿真 1 秒实际工况可能耗时数小时
无法直接用于控制器设计：开关动作产生的高频噪声会掩盖系统的固有动态特性

状态空间平均法通过以下创新解决了这些问题：

将开关周期内的非线性行为转化为连续时域的线性近似
保留主要状态变量（电感电流、电容电压）的动态特性
得到可直接用于频域分析的标准状态方程形式

对于图 1 所示 Buck 电路，我们选择：

$x_1 = i_L$ (电感电流，单位 A)
$x_2 = v_C$ (电容电压，单位 V)

设占空比为 $d$，在单个开关周期 $T_s$ 内：

导通阶段 ($0 \leq t < dT_s$) 状态方程：
$$\frac{dx}{dt} = A_1x + B_1u$$
关断阶段 ($dT_s \leq t < T_s$) 状态方程：
$$\frac{dx}{dt} = A_2x + B_2u$$

通过加权平均得到：
$$\frac{d\bar{x}}{dt} = [dA_1 + (1-d)A_2]\bar{x} + [dB_1 + (1-d)B_2]\bar{u}$$

展开后得到标准形式：

$$\begin{cases}
\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \bar{i_L} \ \bar{v_C} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} -\frac{r_L}{L} & -\frac{1}{L} \ \frac{1}{C} & -\frac{1}{RC} \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} \bar{i_L} \ \bar{v_C} \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} \frac{d}{L} \ 0 \end{bmatrix}V_{in} \
\bar{v}_{out} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \bar{i_L} \ \bar{v_C} \end{bmatrix}
\end{cases}$$

% 参数定义（注意单位匹配）Vin = 24;       % 输入电压[V]
L = 50e-6;      % 电感量[H]
C = 100e-6;     % 电容量[F]
R = 5;          % 负载电阻[Ω]
rL = 0.1;       % 电感寄生电阻[Ω]
Ts = 1/100e3;   % 开关周期[s]

% 状态空间矩阵
A = [ -rL/L    -1/L;
       1/C     -1/(R*C) ];
B = [1/L; 0];
Cmat = [0 1];  % 输出矩阵
D = 0;

% PID 控制器设计
pid_obj = pidtune(ss(A,B*d,Cmat,D),'PID');