波动光学入门：从驻波本质理解激光原理与应用

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理解驻波需要先掌握波动光学的基础。根据 Maxwell 方程组，电场和磁场在空间中传播满足波动方程：

$$\nabla^2 \mathbf{E} – \mu_0\epsilon_0\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} = 0$$

两列波要形成稳定的干涉（即产生驻波），必须满足相干条件：

频率相同
振动方向一致
相位差恒定

考虑两列沿 z 轴反向传播的平面波：

正向波：$E_1(z,t) = E_0 \cos(kz – \omega t + \phi_1)$

反向波：$E_2(z,t) = E_0 \cos(kz + \omega t + \phi_2)$

利用三角函数和角公式，合成波场强为：

$$E_{total} = 2E_0 \cos\left(kz + \frac{\phi_1+\phi_2}{2}\right)\cos\left(\omega t + \frac{\phi_1-\phi_2}{2}\right)$$

这个结果表明：

空间分布项：$\cos(kz + \frac{\phi_1+\phi_2}{2})$ 决定波节 / 波腹位置
时间振荡项：$\cos(\omega t + \frac{\phi_1-\phi_2}{2})$ 保持原有频率振动

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 参数设置
wavelength = 632.8e-9  # He-Ne 激光波长 (m)
k = 2*np.pi/wavelength
E0 = 1.0  # 归一化场强

# 空间坐标
z = np.linspace(0, 3*wavelength, 1000)

# 计算正向波和反向波（相位差设为 0 简化演示）E_forward = E0 * np.cos(k*z)
E_backward = E0 * np.cos(k*z)

# 合成驻波
E_standing = 2*E0 * np.cos(k*z)  # 时间项已省略

# 绘图
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(z/wavelength, E_forward, '--', label='正向波')
plt.plot(z/wavelength, E_backward, '--', label='反向波')
plt.plot(z/wavelength, E_standing, 'r-', linewidth=2, label='合成驻波')

# 标记波节位置
nodes = [i/2 for i in range(7)]
plt.scatter(nodes, [0]*len(nodes), c='k', marker='o', label='波节')

plt.xlabel('位置 (z/λ)')
plt.ylabel('电场强度')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.title('两列相干波形成的驻波')
plt.show()

在激光谐振腔中，满足驻波条件要求腔长 L 是半波长的整数倍：

$$L = n\cdot\frac{\lambda}{2}, \quad n=1,2,3…$$

这解释了为何激光器需要精确的腔长控制。例如在氦氖激光器中，典型腔长设计为 15-50cm，对应约 10^5-10^6 个半波长。

当多个纵模满足驻波条件时，会出现模式竞争：