Bass扩散模型入门指南：从数学原理到Python实现

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在市场营销和技术采纳领域，我们经常需要预测一个新产品的市场渗透率。比如，一款新手机发布后，我们需要预测它在未来几年的销量变化。这时候，Bass 扩散模型就派上了大用场。

Bass 模型由 Frank Bass 在 1969 年提出，它能很好地描述创新产品在人群中的扩散过程。这个模型特别擅长捕捉两种人群的行为：创新者（愿意尝试新事物的人）和模仿者（看到别人使用后才跟进的人）。通过这个模型，我们可以预测产品销量的变化趋势，这对企业制定营销策略非常有帮助。

Bass 模型建立在两个关键假设上：

创新者假设：有一部分人会自发地采用新产品，不受他人影响。这部分人的比例由参数 p（创新系数）决定。
模仿者假设：更多人是在看到别人使用后才会跟进采用。这部分人的比例由参数 q（模仿系数）和市场已采纳比例共同决定。

模型的核心是一个微分方程：

$$\frac{dN(t)}{dt} = (p + q \cdot \frac{N(t)}{M})(M – N(t))$$

其中：
– $N(t)$ 是到时间 t 为止的累计采纳人数
– $M$ 是市场潜在总需求（市场饱和度）
– $p$ 是创新系数
– $q$ 是模仿系数

这个方程表示采纳速率由两部分组成：创新者的自发采纳（p 部分）和模仿者的跟进采纳（q 部分）。随着采纳人数增加，剩余潜在用户 (M-N(t)) 会减少。

通过分离变量法，可以求得累积采纳函数的解析解：

$$N(t) = M \cdot \frac{1 – e^{-(p+q)t}}{1 + (q/p)e^{-(p+q)t}}$$

这个 S 型曲线很好地描述了新产品扩散的典型模式：初期增长缓慢，中期加速，后期趋近饱和。

下面我们用 numpy 来实现 Bass 模型，包括参数估计和预测功能。

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

# Bass 模型函数
def bass_model(params, t):
    p, q, M = params
    return M * (1 - np.exp(-(p+q)*t)) / (1 + (q/p)*np.exp(-(p+q)*t))

# 最小二乘拟合
def fit_bass(t_obs, N_obs, initial_guess=[0.01, 0.2, 100]):
    def residuals(params):
        return bass_model(params, t_obs) - N_obs

    result = least_squares(residuals, initial_guess, bounds=([0, 0, 0], [1, 1, np.inf]))
    return result.x

# 示例数据
t_data = np.array([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
N_data = np.array([5, 15, 35, 70, 120, 180, 240, 290, 330, 360])

# 拟合参数
p_est, q_est, M_est = fit_bass(t_data, N_data)
print(f"Estimated parameters: p={p_est:.4f}, q={q_est:.4f}, M={M_est:.1f}")

# 预测未来
t_future = np.arange(1, 16)
N_pred = bass_model([p_est, q_est, M_est], t_future)