AI扩散模型降噪原理深度解析：从数学基础到工程实践

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传统图像降噪方法如小波变换、非局部均值等依赖手工设计的特征和先验假设，其核心局限在于：

对噪声分布强假设（如高斯噪声）
难以处理非均匀噪声场
边缘和纹理保持能力有限

扩散模型的优势体现在：

通过渐进式加噪 / 去噪学习数据分布
无需显式噪声分布假设
理论上可建模任意复杂噪声

定义马尔可夫链逐步添加高斯噪声：
$$q(\mathbf{x}t|\mathbf{x}}) = \mathcal{N}(\mathbf{xt; \sqrt{1-\beta_t}\mathbf{x})$$
其中 $\beta_t$ 为噪声调度参数。}, \beta_t\mathbf{I

通过神经网络学习条件分布：
$$p_\theta(\mathbf{x}{t-1}|\mathbf{x}_t) = \mathcal{N}(\mathbf{x}}; \mu_\theta(\mathbf{xt,t), \Sigma\theta(\mathbf{x}t,t))$$
关键是通过噪声预测网络实现：
$$\epsilon\theta(\mathbf{x}_t,t) \approx \epsilon$$

class LinearNoiseScheduler:
    def __init__(self, num_timesteps, beta_start=1e-4, beta_end=0.02):
        self.betas = torch.linspace(beta_start, beta_end, num_timesteps)
        self.alphas = 1. - self.betas
        self.alpha_bars = torch.cumprod(self.alphas, dim=0)

    def add_noise(self, x_0, t, noise):
        alpha_bar = self.alpha_bars[t]
        return torch.sqrt(alpha_bar) * x_0 + torch.sqrt(1 - alpha_bar) * noise

class TimeEmbedding(nn.Module):
    def __init__(self, dim):
        super().__init__()
        self.time_mlp = nn.Sequential(nn.Linear(dim, dim * 4),  # Expand dimension
            nn.SiLU(),
            nn.Linear(dim * 4, dim)  # Compress back
        )

    def forward(self, t):
        return self.time_mlp(t)